Généralité sur les bases d'un système de numération

Définition

On appelle base d'un système de numération de position, le nombre de chiffres distincts permettant l'écriture de n'importe quel nombre entier naturel.

Dans un système de base \(b\), un nombre sera noté :

\[(a_n a_{n−1} \dots a_1 a_0)_b = a_0 \times b^0 + a_1 \times b^1 + \dots + a_{n−1} \times b^{n−1} + a_n \times b^n\]

où les \(a_i\) sont des chiffres compris entre \(0\) et \(b-1\).

Exemple pour le nombre \((1234)_{10}\) (le \(_{10}\) signifie que ce nombre est écrit en base 10) :

\[(1234)_{10} = 4 \times 10^0 + 3 \times 10^1 + 2 \times 10^2 + 1 \times 10^3 = 4 + 30 + 200 + 1000\]

En informatique, nous utilisons principalement 3 bases :

1. Le système binaire utilisant la base 2.
   Les processeurs des ordinateurs actuels sont composés de transistors ne gérant chacun que deux états. Un calcul informatique n'est donc qu'une suite d'opérations sur des nombres composés de 0 et de 1, appelés octets lorsqu'ils sont regroupés par huit (1 octet = 8 bits).
2. Le système décimal utilisant la base 10.
   Ce système est le plus utilisé pour représenter des nombres. Il découle d'un choix naturel, dicté par le nombre de doigts des deux mains.
3. Le système hexadécimal utilisant la base 16.
   Ce système est fréquemment utilisé en informatique, car il permet un compromis entre le code binaire des machines et une base de numération pratique à utiliser (chaque chiffre correspond exactement à 4 chiffres binaires, soit 4 bits).