TP - Exercices pour débuter

Exercice 1

Écrire une fonction récursive puissance qui prend en argument un flottant \(x\) non nul et un entier naturel \(n\) et qui renvoie \(x^n\).

Pour écrire cette fonction, on réfléchira au cas de base puis, on pourra écrire puissance(n) en fonction de puissance(n-1).

Exercice 2 : Secret de protection

On appelle SECRET de protection n, une chaîne de caractères composée de n parenthèses ouvrantes, puis du mot SECRET suivi de n parenthèses fermantes. Par exemple :

• un SECRET de protection 4 est la chaîne de caractères : "((((SECRET))))"
• un SECRET de protection 0 est la chaîne de caractères : "SECRET"

Le but de cet exercice est de programmer une version récursive de la fabrication d'un SECRET de protection n.

1. Déterminez le (ou les) cas de base.
2. Exprimer protection(n) en fonction de protection(n-1).
3. En déduire la définition récursive de la fonction protection() :

Exercice 3 : Suite de Syracuse

La suite de Syracuse d'un nombre entier \(N > 0\) est définie par récurrence, de la manière suivante :

\[U_0 = N\]

\[U_{n+1} = \begin{cases} \frac{U_n}{2} & \quad \text{si $U_n$ est pair}\\ 3 U_n + 1 & \quad \text{si $U_n$ est impair} \end{cases}\]

La conjecture de Syracuse (non résolue à ce jour) affirme que \(\forall N > 0, \exists n \text{ tel que } U_n = 1\).

Programmer une fonction récursive syracuse qui affiche les termes de la suite jusqu'à ce qu'un terme soit égal à 1.